Двоичная система счисления: как считать нулями и единицами

Двоичная система счисления — способ записывать числа двумя цифрами: 0 и 1. В ней каждый разряд весит вдвое больше соседа справа. Числа от этого не меняются — меняется только их запись, и именно в таком виде их хранит компьютер.

Как устроена привычная запись

Прежде чем считать по-новому, посмотрим, как мы считаем обычно. Запись 2026 означает не «два, ноль, два, шесть», а сумму:

2026 = 2 · 1000 + 0 · 100 + 2 · 10 + 6 · 1

Значение цифры зависит от места, на котором она стоит. Двойка слева означает две тысячи, а двойка правее — всего два десятка. Системы с таким правилом называют позиционными, а место цифры — разрядом.

У каждого разряда есть вес. В десятичной системе веса растут в десять раз: 1, 10, 100, 1000. Так получилось потому, что цифр у нас десять. Когда в разряде заканчиваются цифры, мы пишем там ноль и добавляем единицу в следующий: после 9 идёт 10, после 99 — 100.

То же самое с двумя цифрами

В двоичной системе цифр две, поэтому разряд переполняется уже после единицы, а веса растут вдвое: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и так далее.

Разберём запись 1011. Подпишем под каждой цифрой вес разряда, начиная справа:

цифра   1   0   1   1
вес     8   4   2   1

Складываем веса там, где стоят единицы: 8 + 2 + 1 = 11. Значит, двоичное 1011 — это число одиннадцать.

Чтобы не путать системы, внизу справа от числа пишут маленькую цифру — основание системы: 1011₂ = 11₁₀. Запись 10₂ читают «один-ноль», а не «десять»: это число два.

Считаем от нуля до пятнадцати

Посчитаем по порядку. Каждый раз прибавляем единицу; если в разряде уже стоит 1, он обнуляется, а единица переходит левее.

Присмотритесь к столбцам. Правая цифра меняется на каждом шаге: 0, 1, 0, 1. Поэтому запись чётного числа всегда заканчивается нулём, а нечётного — единицей. Вторая справа — через два шага, третья — через четыре, четвёртая — через восемь. А числа 1, 2, 4 и 8 записываются одной единицей с нулями — так же, как 10, 100 и 1000 в десятичной системе.

Нули слева значения не меняют: 0101 и 101 — одно и то же число пять. Их дописывают, когда нужна запись определённой длины.

Из двоичной записи в десятичную

Правило уже знакомо: подписать веса и сложить те, над которыми стоят единицы. Переведём 110101₂.

цифра   1    1    0    1    0    1
вес    32   16    8    4    2    1

32 + 16 + 4 + 1 = 53.

Из десятичной записи в двоичную

Есть два способа, и оба дают один ответ.

Способ 1: вычитаем степени двойки. Он удобен, когда считаете в уме. Переведём число 77.

1. Самый большой вес, который помещается в 77, — это 64. Берём его: 77 − 64 = 13.
2. 32 в остаток 13 не помещается, 16 тоже.
3. 8 помещается: 13 − 8 = 5.
4. 4 помещается: 5 − 4 = 1.
5. 2 не помещается, а 1 помещается: остаток стал нулём.

Ставим единицы в разряды, которые взяли, и нули в остальные:

вес    64   32   16    8    4    2    1
цифра   1    0    0    1    1    0    1

Итог: 77 = 1001101₂.

Способ 2: делим на два. Он удобен для больших чисел и для программ. Делим число на 2 и записываем остаток, затем делим частное — и так до нуля.

77 : 2 = 38, остаток 1
38 : 2 = 19, остаток 0
19 : 2 =  9, остаток 1
 9 : 2 =  4, остаток 1
 4 : 2 =  2, остаток 0
 2 : 2 =  1, остаток 0
 1 : 2 =  0, остаток 1

Остатки читаем снизу вверх: 1001101. Ответ тот же.

Сложение в столбик

Двоичные числа складывают так же, как десятичные, только таблица сложения совсем короткая:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 1 = 10      пишем 0, единица переходит в следующий разряд
1 + 1 + 1 = 11  пишем 1, единица переходит в следующий разряд

Сложим 1011 и 0110, то есть 11 и 6:

перенос   1 1 1
            1 0 1 1
          + 0 1 1 0
          ---------
          1 0 0 0 1

Справа налево: 1 + 0 = 1. Затем 1 + 1 = 10 — пишем 0, один в уме. Затем 0 + 1 и ещё один в уме — снова 10. Затем 1 + 0 и один в уме — опять 10. Последний перенос спускается вниз. Получилось 10001₂ = 16 + 1 = 17. Всё сходится: 11 + 6 = 17.

Эта короткая таблица — главная причина, по которой компьютеры считают в двоичной системе. Чтобы складывать, схеме достаточно знать четыре правила, а не сто, как в десятичной.

Сколько чисел помещается в разряды

Если разрядов n, сочетаний нулей и единиц всего 2ⁿ. Наименьшее число — ноль, поэтому наибольшее на единицу меньше: 2ⁿ − 1.

Наибольшее число — это запись из одних единиц. Прибавьте к нему один, и получится единица с нулями, для которой нужен ещё один разряд.

Частые ошибки

• Читают двоичную запись как десятичную. 100₂ — это четыре, а не сто.
• Считают веса слева направо. Вес 1 всегда у крайнего правого разряда.
• Читают остатки от деления сверху вниз. Первый остаток — это последняя цифра числа.
• Путают количество чисел и наибольшее число. В восьми разрядах 256 разных чисел, но самое большое из них — 255.

Коротко

• В двоичной системе две цифры, а веса разрядов — степени двойки: 1, 2, 4, 8, 16.
• Чтобы перевести число в десятичную запись, сложите веса разрядов, где стоят единицы.
• Чтобы перевести в двоичную, вычитайте наибольшие степени двойки или делите на два и читайте остатки снизу вверх.
• При сложении 1 + 1 даёт 0 и перенос единицы в следующий разряд.
• В n разрядах помещаются числа от 0 до 2ⁿ − 1.
• Число чётное, если его двоичная запись заканчивается нулём.

Двоичные записи получаются длинными, и читать их трудно. Как записать их вчетверо короче — в уроке Шестнадцатеричная система.